数字电路学习笔记

下学期辅修汇编、计组，需要补一下数电知识。。有输入就要有输出，谨以此文纪念我数电学习道路。

布尔代数和逻辑函数的化简

概念

怎么说呢，就是取值只有 0 和1两个值的逻辑变量组成表达式、函数。其运算就是布尔代数。

运算

最基本逻辑运算：

1. 与逻辑，当且 两个 都为 1 时结果为1，记做
2. 或逻辑，两个 变量有一个为 1 即为1，记做
3. 非逻辑，当 一个 变量为 1 时结果为 0，为0 时结果为1，记做

扩展逻辑运算：

1. 与非：
2. 或非：
3. 与或非:
4. 异或：

公式

下面这些公式只需要了解 与、与或形式 即可，因为 或、或与形式 可以由前面推出来，对偶变换 会讲到。

证明的话可以用穷举法来证明，就是将变量所有取值一一带入验证，这里略过。

常量间运算

与、与或形式	或、或与形式

变量与常量的运算

与、与或形式	或、或与形式

运算定律

定律	与、与或形式	或、或与形式
交换律
结合律
分配律
同一律
还原律
摩根定律

常用公式

2. (证： )
3. (证：)

基本规则

带入规则

在布尔等式中，用函数去代替变量，等式仍成立。

对偶规则

在一个布尔等式（或函数式）中，等式两边实行：

1. 加乘互换
2. 0和 1 互换

等式仍然成立，则称上述变换为对偶变换。

例如在等式 两边实行对偶变换，得到：，所以前面提到只需要了解一半的公式，用对偶式可以推出另一半。再例如 的对偶式，两次对偶得到自己：

反演规则

设 为一布尔函数，如果实行：

1. 加乘互换
2. 0和 1 互换
3. 原反变换（就是式子中原变量写成反变量，反变量写成原变量）

例如求 的反函数：

不过需要注意的是：

需要将 看成一个整体。

展开规则

化简

对于同一逻辑关系有多种形式，最简单的就是 与项最少，每一与项的变量也最少

1. 先将任意布尔式化为 与或型 的布尔式。
2. 利用公式化简。
3. 可以考虑合项法（提公因式）和配项法（乘以）
4. 卡诺图 化简法

最大项和最小项

这里举个例子来说什么是最大项和最小项吧。

给出真值表求表达式：

A	B	C	P
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

先看结果有多少个 1，这里有 4 个1，则表达式有 4 项最小项（或最大项）。然后将结果为 1 的表达式中，0 的部分用 反变量 表示，1的部分用 原变量 表示。

那么结果为：

最小项

n 个变量的最小项就是 n 个变量的 乘积项 ，每个变量自出现 一次 ，每个变量可以是 原变量 或者 反变量 。所以最小项有 个，最小项也可以用 表示，下标就是最小项对应二进制码相应的十进制表示。

A	B	最小项
0	0
0	1
1	0
1	1

最大项

n 个变量的最大项就是 n 个变量的 逻辑和 ，每个变量自出现 一次 ，每个变量可以是 原变量 或者 反变量 。所以最大项有 个，最大项也可以用 表示，下标就是最小项对应二进制码相应的十进制表示。

A	B	最大项
0	0
0	1
1	0
1	1

性质

1. 最大项和最小项互为反函数。
2. 全部最小项之和等于1。
3. 全部最大项之积等于0。
4. 一部分最小项之和的反等于另一部分最小项之和。
5. 两个不同的最小项之积等于0。
6. 两个不同的最大项之和等于1。

卡诺图

卡诺图类似于真值表，在图上有 个格子，每个格子对应于一个最小项，相邻 、 行列首尾 格子表示的最小项逻辑相邻（即最小项只有一个变量不同，相邻项可消去一个变量），在化简表达式的时候，先画出该表达式卡诺图，然后尽可能大的圈出大小为 的矩形，将所有为 1 的格子圈出来后，几个矩形就是几个与项。