行列式

定义

定义 1.1

将 n 个不同元素排成一列，称为这 n 个元素的一个全排列，简称排列

定义 1.2

对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。逆序数个数记做

逆序数为奇数的称为奇排列，偶数的成为偶排列。

定理 1.1

一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

定义 1.3

由个数排成 n 行 n 列的数表组成阶行列式

其值

性质

性质 1.1

的转置行列式为互换 D 的行与列，记做。

性质 1.2

互换行列式的两行（列），行列式符号改变。

性质 1.3

行列式某行（列）所有元素乘以，等于用数乘以改行列式。即

性质 1.4

行列式可按某一行（列）分解成两个行列式之和。即

性质 1.5

把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

以数乘以行列式第行（列）在加到第行（列）上，记做c_i+k c_j)$。

性质 1.6

行列式按行与列展开定理

定义 1.4

在阶行列式中，划去所在的行和列元素，剩下的元素组成的阶行列式成为元素的余子式，记做，并称为元素的代数余子式。

引理 1.1

在行列式中，如果其中第行（列）元素除外全部为 0，那么。

定理 1.2

阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

或

范德蒙德行列式

推论

    行列式任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

或

克莱姆法则

含有个未知数组成的方程组，

当方程组右端常数项不全为零时，称为非奇次线性方程组。

定理 1.3

如果线性方程组的系数行列式

则方程组有唯一解，且

其中是把系数行列式第列用方程组右端常数项替换后所得。

定理 1.3’

如果线性方程组无解或者有两个不同的解，则其系数行列式必为零。

定理 1.4

如果奇次线性方程组

的系数行列式，则方程组只有零解。

定理 1.4’

如果奇次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。

一些特殊行列式的计算公式

上（下）三角行列式

副对角下（上）的元素全为 0 的行列式。

行列式的基本计算方法

用行列式的定义和性质计算

用行列式的展开定理进行降阶或升阶计算

化成上（下）三角行列式进行计算

利用递推关系法或者数学归纳法计算