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文章目录
  1. 行列式
    1. 定义
      1. 定义 1.1
      2. 定义 1.2
      3. 定理 1.1
      4. 定义 1.3
    2. 性质
      1. 性质 1.1
      2. 性质 1.2
      3. 性质 1.3
      4. 性质 1.4
      5. 性质 1.5
      6. 性质 1.6
      7. 定义 1.4
      8. 引理 1.1
      9. 定理 1.2
      10. 范德蒙德行列式
      11. 克莱姆法则
      12. 定理 1.3
        1. 定理 1.3’
      13. 定理 1.4
        1. 定理 1.4’
    3. 一些特殊行列式的计算公式
      1. 上(下)三角行列式
      2. 副对角下(上)的元素全为 0 的行列式。
    4. 行列式的基本计算方法

线性代数复习笔记 - 行列式

行列式

定义

定义 1.1

将 n 个不同元素排成一列,称为这 n 个元素的一个全排列,简称排列

定义 1.2

对于 n 个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如 n 个 不同的自然数,可规定从小到大为标准次序),于是在这 n 个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有 1 个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。逆序数个数记做

逆序数为奇数的称为奇排列,偶数的成为偶排列。

定理 1.1

一个排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性。

定义 1.3

个数排成 n 行 n 列的数表组成 阶行列式

其值

性质

性质 1.1

的转置行列式为互换 D 的行与列,记做

性质 1.2

互换行列式的两行(列),行列式符号改变。

性质 1.3

行列式某行(列)所有元素乘以 ,等于用数 乘以改行列式。即

性质 1.4

行列式可按某一行(列)分解成两个行列式之和。即

性质 1.5

把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数 后,加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变。

以数 乘以行列式第 行(列)在加到第 行(列)上,记做c_i+k c_j)$。

性质 1.6

行列式按行与列展开定理

定义 1.4

阶行列式 中,划去 所在的行和列元素,剩下的元素组成的 阶行列式成为元素 的余子式,记做 ,并称 为元素 的代数余子式。

引理 1.1

在行列式 中,如果其中第 行(列)元素除 外全部为 0,那么

定理 1.2

阶行列式 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

范德蒙德行列式

推论

    行列式任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即

克莱姆法则

含有 个未知数 组成的方程组,

当方程组右端常数项 不全为零时,称为非奇次线性方程组。

定理 1.3

如果线性方程组的系数行列式

则方程组有唯一解,且

其中 是把系数行列式第 列用方程组右端常数项替换后所得。

定理 1.3’

如果线性方程组无解或者有两个不同的解,则其系数行列式必为零。

定理 1.4

如果奇次线性方程组

的系数行列式,则方程组只有零解。

定理 1.4’

如果奇次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零。

一些特殊行列式的计算公式

上(下)三角行列式

副对角下(上)的元素全为 0 的行列式。

行列式的基本计算方法

用行列式的定义和性质计算

用行列式的展开定理进行降阶或升阶计算

化成上(下)三角行列式进行计算

利用递推关系法或者数学归纳法计算

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